Здравствуйте!
Цитата: Заявление принять отказались,
Не имели права не принимать заявление.
Статья 80 ТК:
Цитата:Работник имеет право расторгнуть трудовой договор,предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели,если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
Не важно, что Вы находитесь в отпуске.
Цитата: нет будешь отстаивать 2 недели уже только после отпуска.
2 недели отсчитываются с момента подачи заявления, а не выхода из отпуска. Понятия двухнедельной отработки в ТК РФ нет.
Цитата: Могу ли я пойти на больничный на старой работе и во время больничного уже устроиться на новую.
Бывают, конечно, случаи, когда у одного работодателя работник является нетрудоспособным, а у другого трудоспособным, но это случается не так часто.
Например, с гипсом на ноге вряд ли получится работать кондуктором в автобусе, а вот работать по удаленке, сидя дома в кресле, можно (не кондуктором, конечно).
Если Ваш случай не относится к подобным случаям, не советую рисковать.